行列式运算法则(行列式运算法则乘法)

微博热评号购买 2022年08月08日 06:51 209 admin

行列式的定义：

行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

一阶行列式

（注意不是绝对值）

二阶行列式

三阶行列式

N阶行列式

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行列式的几何意义是什么呢？

概括说来有两个解释：

一个解释是行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；

另一个解释是矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。

二阶行列式的几何意义：

二阶行列式

的几何意义是xoy平面上以行向量为邻边的平行四边形的有向面积。

二阶行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积。另外，两个向量的叉积也是这个公式。

二阶行列式的另一个意义就是是两个行向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在二维平面上，z轴的正向想象为指向读者的方向）的叉积分量。如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么二阶行列式就与两个向量的叉积完全等价了。

二阶行列式性质的几何解释：

两向量在同一条直线上，显然围成的四边形的面积为零，因此行列式为零

这个性质由行列式的叉积特性得到，交换行列式的两行，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此行列式换号。

把行列式的一行的k倍加到另一行，则行列式值不变，即

矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式（根据行列式的定义可证）

总结：

（1）用一个数k乘以向量a,b中之一的a，则平行四边形的面积就相应地增大了k倍；

（2）把向量a,b中的一个乘以数k之后加到另一个上，则平行四边形的面积不变；

（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平行四边形(即单位正方形)的面积为1。

三阶行列式的几何意义：

一个3×3阶的行列式是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。

一个行列式可以通过拆分某一个列向量得到两个行列式的和

行列式的有两行或者两列元素相同，它对应的空间平行六面体的两条邻边重合，相当于三维空间中六面体被压成了高度为零的二维平面，显然，这个平面的三维体积为零。

一个行列式对应着一个数值，这个数值是对行列式中的元素经过运算得到的。这个运算是与元素的位置有关系的，因此你改变了行列式中列向量或行向量的位置当然会改变行列式的结果。幸而只改变结果的符号。一般地，一个行列式的值对应矩阵A的列向量的一个固定顺序。当detA为负值时，它确定原象的一个反射。所以，这种变换改变了原象的定向。

这就是说，平行六面体的体积的k倍等于六面体的三条棱中一条棱长的k倍。这是显然的。因为立方体的体积增大可以沿着立方体某一棱方向增大相同的倍数。

此性质表述了以为底面积的平行六面体在a方向上进行了切向变换，变换的后的六面体因为底面积不变，高也不变，因此体积不变。

矩阵A的行列式等于矩阵A转置的行列式

行列式化为对角形的几何解释：

一个行列式的第i行加上j行的K倍，可以使第i行的某一个元素变为0，而这个行列式的值不变。这个性质在化简行列式时非常有用。

一个二阶行列式所表示的平行四边形被变成了一个对角行列式所表示的正（长）方形。

三阶行列式有类似的变换情形，对角化的过程会把一个平行六面体变化为一个等体积的立方体或长方体。

那么n阶行列式我们亦不怀疑的认为也可以被表示成一个n维的长方体的几何图形。

二阶行列式乘积项的几何意义：

行列式运算法则(行列式运算法则乘法)